关于直线覆盖点及相关问题的可近似性

给定平面上的$n$个点集$P$，{\sc Covering Points by Lines}（直线覆盖点）问题是寻找一个最小基数的直线集$\L$，使得每个点$p \in P$都位于某条直线$\ell \in \L$上。作为{\sc Set Cover}（集合覆盖）问题的几何变体，{\sc Covering Points by Lines}仍然是 NP-hard。此外，已证明它是 APX-hard，因此除非 P $=$ NP，否则不存在任何多项式时间近似方案。与 APX-hardness 所暗示的小常数近似下界相比，{\sc Covering Points by Lines}当前的最佳近似比仍然是$O(\log n)$，即{\sc Set Cover}贪心算法所达到的比率。在本文中，我们给出了{\sc Covering Points by Lines}贪心算法近似比的$\Omega(\log n)$下界。我们还研究了几个相关问题，包括{\sc Maximum Point Coverage by Lines}（直线最大点覆盖）、{\sc Minimum-Link Covering Tour}（最小链路覆盖巡游）、{\sc Minimum-Link Spanning Tour}（最小链路生成巡游）和{\sc Min-Max-Turn Hamiltonian Tour}（最小 - 最大转角哈密顿巡游）。我们表明，所有这些问题要么是 APX-hard，要么至少是 NP-hard。特别是，我们对{\sc Min-Max-Turn Hamiltonian Tour}的 APX-hardness 证明阐明了 Aggarwal 等人于 SODA 1997 提出的{\sc Bounded-Turn-Minimum-Length Hamiltonian Tour}（有界转角最小长度哈密顿巡游）问题的难度。