k-局域量子相物态的稳定性

拓扑相的当前理论框架基于几何局域相互作用的体系热极限。一个自然的问题是：当我们放宽几何局域性的约束，用更弱的图论 notions 的 $k$ 局域性来取代时，相态的概念在多大程度上仍然保持良好定义。为了回答这个问题，我们分析了对应于一般量子低密度校验码（quantum low-density parity-check codes）的哈克顿量在扰动下的能隙稳定性，扩展了 Bravyi 和 Hastings 的工作 [Commun. Math. Phys. 307, 609 (2011)]。我们主要结果的一个推论是：如果存在常数 $\varepsilon_1,\varepsilon_2>0$，使得图上半径为 $r$ 的球的大小 $\Gamma(r)$ 满足 $\Gamma(r) = O(\exp(r^{1-\varepsilon_1}))$，且半径为 $r\le\rho^\ast = O(\log(n)^{1+\varepsilon_2})$ 的球的局部基态在局部不可辨识，那么该哈克顿量的能隙将抵抗局部扰动而保持稳定。这在 $D$ 维欧几里得空间情形下几乎实现了指数级的改进，该情形要求 $\Gamma(r) = O(r^D)$ 且 $\rho^\ast = O(n^\alpha)$，其中 $\alpha > 0$。我们遵循的ethods 仅稍微短于证明有限速率 qLDPC 码的稳定性，这类码具有 $\varepsilon_1 = 0$；我们讨论了将结果扩展到这些情况的一些策略。我们讨论了对第三定律的含义，因为 $k$ 局域哈克顿量可以具有广义的零温熵。