关于存在余数误差时广义中国剩余定理的求解

在估计因信号波形被多次欠采样而产生的频率时，Xia 等人提出使用中国剩余定理 (CRT) 的广义版本，其中模数 $M_1, M_2, \cdots, M_k$ 不一定两两互素。若受损余数的误差在 $\tau=\sds \max_{1\le i\le k} \min_{\stackrel{1\le j\le k}{j\neq i}} \frac{\gcd(M_i,M_j)}4$ 范围内，他们的方案可用于构建广义 CRT 解的近似值，且误差小于 $\tau$。准确寻找商数是该方法的关键要素。在本文中，我们首先回顾广义 CRT 的忠实历史记载。随后，我们提出两种处理带误差余数的广义 CRT 求解问题的方法。第一种方法遵循 Wang 和 Xia 的路径来寻找商数，但过程更为简化。第二种方法考虑了广义 CRT 的简化模型，并采取不同的途径直接处理受损余数。该方法还通过检查模 $4\tau$ 下错误余数的极值，揭示了关于余数的一些有用信息。我们的两种处理方案均产生了具有本质上最优性能的高效算法。最后，本文构造了一个反例以证明误差界 $\tau$ 的尖锐性。