关于多项式 progression 复杂性的若干概念

对于多项式 progression $$(x,\; x+P_1(y),\; \ldots,\; x+P_{t}(y)),$$ 我们定义四种复杂性概念：Host-Kra 复杂性、Weyl 复杂性、真复杂性与代数复杂性。前两者描述该 progression 的最小特征因子，第三者为控制该 progression 的最小次数 Gowers 范数，第四者涉及 progression 各项之间的代数关系。我们猜想这四种概念等价，这将给出判定给定 progression 的最小 Host-Kra 因子或最小 Gowers 范数的纯代数准则。我们证明了该猜想对所有各项仅满足齐次代数关系及其线性组合的 progression 成立。这类多项式 progression 包含但不限于等差数列、具有线性独立多项式 $P_1,\; \ldots,\; P_t$ 的 progression，以及各项不满足二次关系的 progression。对于仅满足线性关系的 progression，例如 $$(x,\; x+y^2,\; x+2y^2,\; x+y^3,\; x+2y^3),$$ 我们推导出若干组合与动力系统推论：(1) 此类 progression 在循环群子集或完全遍历动力系统中计数的估计；(2) 多重递归的下界；(3) 循环群中流行的公共差结果。最后，我们证明 Weyl 复杂性与代数复杂性总是一致，从而给出 Weyl 复杂性的直接代数描述。