关于 Bolzano、Weierstrass、Cantor 与 Jordan 的稳健定理
逻辑
2022-09-30 v5
摘要
逆向数学（以下简称 RM）是数学基础中的一个纲领，其目标是识别证明给定定理所需的最小公理，该定理来自通常的、即非集合论的数学。该纲领揭示了令人惊讶的规律性：最小公理在基理论（一个弱的可计算数学系统）之上往往等价于该定理，而大多数定理要么在此基理论中可证，要么等价于仅有的四个逻辑系统之一。后者加上基理论被称为“五大（Big Five）”，且相关的等价性依 Montalban 是稳健的，即对所涉定理的微小变动保持稳定。在 Kohlenbach 的高阶 RM 中，我们基于 Bolzano、Weierstrass、Jordan 与 Cantor 的定理得到两组长的等价性序列；这些等价性极为稳健，且在五大系统间无对应物，因为它们严格位于基理论与弱 Koenig 引理的高阶对应物之间。因此，高阶 RM 比其二阶表亲丰富得多，拥有（至少）两个额外的“大”系统。
引用
@article{arxiv.2102.04787,
title = {On robust theorems due to Bolzano, Weierstrass, Cantor, and Jordan},
author = {Dag Normann and Sam Sanders},
journal= {arXiv preprint arXiv:2102.04787},
year = {2022}
}
备注
44 pages + technical appendix, to appear in Journal of Symbolic Logic