关于偏微分方程的残差最小化：PINN的失效、修正方程与隐式偏置
偏微分方程分析
2023-12-22 v2 数值分析
数值分析
摘要
作为一种流行且易于实现的求解微分方程的机器学习方法，物理信息神经网络（PINN）有时会失效，并找到偏离精确解的劣质解。本文建立了一个修正方程框架，用以解释这一失效现象并刻画一般残差最小化（RM）方法的隐式偏置。我们提供了一种简单的方法来推导修正方程，该方程对RM方法所获得的数值解进行建模。接着，我们证明了修正解偏离原始精确解。证明使用了本文的一个副产品，即刻画系数奇异性的一个充要条件。这一等价条件未来可推广到其他类型的方程。最后，作为对隐式偏置的完整刻画，我们证明了RM方法隐式地将数值解偏置离开精确解而趋向一个修正解。本文聚焦于具有不连续系数的椭圆型方程，但我们的方法可推广到其他类型的方程，且我们对隐式偏置的理解或可启发基于深度学习的方程求解方法的进一步发展。
引用
@article{arxiv.2310.18201,
title = {On Residual Minimization for PDEs: Failure of PINN, Modified Equation, and Implicit Bias},
author = {Tao Luo and Qixuan Zhou},
journal= {arXiv preprint arXiv:2310.18201},
year = {2023}
}