关于 q 进制 Bent 函数与 Plateaued 函数

我们得到如下结果。对任意素数 $q$，具有 $2n$ 个变量的不同正则 $q$ 进制 bent 函数之间的最小汉明距离等于 $q^n$。与二次 bent 函数 $Q_n=x_1x_2+\dots+x_{2n-1}x_{2n}$ 距离为 $q^n$ 的 $q$ 进制正则 bent 函数个数为 $q^n(q^{n-1}+1)\cdots(q+1)(q-1)$（$q>2$）。具有 $n$ 个变量的不同二元 $s$-plateaued 函数之间的汉明距离不小于 $2^{\frac{s+n-2}{2}}$，具有 $n$ 个变量的不同三元 $s$-plateaued 函数之间的汉明距离不小于 $3^{\frac{s+n-1}{2}}$。这些界是紧的。对 $q=3$，我们证明了三元函数非线性度关于其相关免疫性的上界。此外，达到该界的函数是 plateaued。对 $q=2$ 类似结果已众所周知，但对大 $q$ 似乎不可能。讨论了 $q$ 进制 plateaued 函数的构造与若干性质。