关于随机正交矩阵截断与 Kac 多项式的纯复谱

令 $O(2n+\ell)$ 为大小为 $\left(2n+\ell\right)\times \left(2n+\ell\right)$ 的正交矩阵群，其概率分布由归一化 Haar 测度给出。我们研究概率 \begin{equation*} p_{2n}^{\left(\ell\right)} = \mathbb{P}\left[M_{2n} \, \mbox{has no real eigenvalues}\right], \end{equation*} 其中 $M_{2n}$ 是 $(2n+\ell)\times(2n+\ell)$ 正交矩阵的 $2n\times 2n$ 左上子矩阵。我们证明该概率由一个行列式恒等式减去一个依赖于截断参数 $\ell$ 的 $n\times n$ 加权 Hankel 矩阵给出。当 $\ell=1$ 时，该矩阵与 Hilbert 矩阵一致，我们证明 \begin{equation*} p_{2n}^{\left(1\right)} \sim n^{-3/8}, \mbox{ 当 }n \to \infty. \end{equation*} 我们还讨论了上述结果与随机 Kac 多项式持久概率的联系。