关于棱镜、Möbius 梯与稠密图的圈空间

对于图 X，令 $f_0(X)$ 表示其顶点数，$d(X)$ 表示其最小度，$Z_1(X;\mathbb{Z}/2)$ 表示标准图论意义上的圈空间（即具有 $\mathbb{Z}/2$ 系数的单纯同调论意义下的 1 维圈群）。当且仅当所有 Hamilton 圈的集合构成 $Z_1(X;\mathbb{Z}/2)$ 的 $\mathbb{Z}/2$ 生成系时，称该图为 Hamilton 生成的。本文的主要目的是证明以下结论：对于任意 $s > 0$，存在 $n_0$ 使得对于任意具有 $f_0(X) \ge n_0$ 个顶点的图 X，(1) 若 $d(X) \ge (1/2 + s) f_0(X)$ 且 $f_0(X)$ 为奇数，则 X 是 Hamilton 生成的；(2) 若 $d(X) \ge (1/2 + s) f_0(X)$ 且 $f_0(X)$ 为偶数，则 X 的所有 Hamilton 圈的集合生成 $Z_1(X;\mathbb{Z}/2)$ 的一个余维数为 1 的子空间，且 X 的所有长度为 $f_0(X)-1$ 或 $f_0(X)$ 的圈的集合生成整个 $Z_1(X;\mathbb{Z}/2)$；(3) 若 $d(X) \ge (1/4 + s) f_0(X)$ 且 X 是方二部图，则 X 是 Hamilton 生成的。所有这些度条件本质上都是最佳的。(1) 和 (2) 中的蕴含关系对一个公开猜想的特殊情形给出了渐近肯定的回答，根据 [European J. Combin. 4 (1983), no. 3, p. 246]，该猜想源自 A. Bondy。