关于 Plücker 坐标的幂与算术拟阵的可表示性

我们研究的第一个问题如下：给定 $k\in \mathbb{R}_{\ge 0}$ 以及实 Grassmann 流形中某一点的 Plücker 坐标向量 $v$，对 $v$ 的每个分量取 $k$ 次幂所得到的向量是否仍为 Plücker 坐标向量？对于 $k\neq 1$，当且仅当相应的拟阵是正则拟阵时，该结论成立。在其他域上也有类似结果。我们还描述了 Grassmann 流形中由所有定义正则拟阵的点构成的子簇。第二个主题是关于算术拟阵的一个相关问题。设 $\mathcal{A} = (E, rk, m)$ 为一个算术拟阵，并设 $k\neq 1$ 为非负整数。我们证明，若 $\mathcal{A}$ 是可表示的且其基础拟阵非正则，则 $\mathcal{A}^k := (E, rk, m^k)$ 不可表示。这提供了一大类不可表示算术拟阵的例子。另一方面，若基础拟阵是正则的且满足一个附加条件，则 $\mathcal{A}^k$ 是可表示的。Bajo-Burdick-Chmutov 最近发现，$\mathcal{A}^2$ 型算术拟阵在研究 CW 复形上的着色与流时自然出现。在最后一节中，我们证明了算术拟阵可表示性的一族必要条件。