平面布朗运动在第一与第三象限的占据时间

一个引人关注的公开问题，最早由 Bingham 和 Doney 在 1988 年的工作引入应用概率学界（见 \cite{Bingham}），表述如下：求平面布朗运动象限占据时间的分布。在本短讯中，我们研究这一长期公开问题的另一种表述：设 $X(t), Y(t), t \geq 0$ 分别为从 $x,y$ 出发的标准布朗运动。当 $x=y=0$ 时，求总时间 $T=Leb\{t \in [0,1]: X(t) \times Y(t) >0\}$ 的分布，即第一和第三象限并集的占据时间。若使用两个相邻象限，问题则变得容易得多，且 $T$ 的分布遵循反正弦律。