关于具有指数增长率的拟阵极小闭类

设 $\cM$ 是一个不包含任意长线的拟阵极小闭类。$\cM$ 的增长率函数 $h:\bN\rightarrow \bN$ 定义为 h(n) = \max(|M|\, : \, M\in \cM, simple, rank-$n$). 增长率定理表明存在一个整数 $c$，使得要么：$h(n)\le c\, n$，要么 ${n+1 \choose 2} \le h(n)\le c\, n^2$，要么存在一个素数幂 $q$ 使得 $\frac{q^n-1}{q-1} \le h(n) \le c\, q^n$；这将类分为线性密度类、二次密度类和底数为 $q$ 的指数密度类。对于不包含 $(q^2+1)$ 点线的底数为 $q$ 的指数密度类，我们证明了对于所有足够大的 $n$，$h(n) =\frac{q^n-1}{q-1}$。我们还证明了，对于不包含 $(q^2+q+1)$ 点线的底数为 $q$ 的指数密度类，存在 $k\in\bN$，使得对于所有足够大的 $n$，$h(n) = \frac{q^{n+k}-1}{q-1} - q\frac{q^{2k}-1}{q^2-1}$。