论鞅逼近

考虑马尔可夫链 $W_k$ 的加性泛函，其平稳（边缘）分布和转移函数分别记为 $\pi$ 和 $Q$，即 $S_n=g(W_1)+...+g(W_n)$，其中 $g$ 平方可积且关于 $\pi$ 均值为 0。若 $S_n$ 具有 $S_n=M_n+R_n$ 的形式，其中 $M_n$ 是具有平稳增量的平方可积鞅且 $E(R_n^2)=o(n)$，则称 $g$ 允许鞅逼近。本文建立了此类逼近的充分必要条件。两个显而易见的必要条件是 $E[E(S_n|W_1)^2]=o(n)$ 和 $\lim_{n\to \infty}E(S_n^2)/n<\infty$。假设第一个条件成立，令 $\Vert g\Vert^2_+=\limsup_{n\to \infty}E(S_n^2)/n$；则 $\Vert\cdot\Vert_+$ 在 $L^2(\pi)$ 中使其有限的子空间上定义了一个伪范数。在一个主要结果中，我们用 $\Vert\cdot\Vert_+$ 给出了鞅逼近的一个简单充分必要条件。令 $Q^*$ 表示 $Q$ 的伴随算子，视为从 $L^2(\pi)$ 到其自身的线性算子，并考虑余等距（$QQ^*=I$），这是一个包括移位过程在内的重要特例。在另一个主要结果中，我们确定了 $L_0^2(\pi)$ 的一个方便的正交基，并根据 $g$ 关于该基展开式的系数，给出了存在鞅逼近的简单充分必要条件。