论循环图神经网络中的停机与收敛

循环图神经网络（RGNN）通过迭代消息传递直至满足某个停止条件来扩展标准 GNN。文献中已提出多种 RGNN 模型。本文研究三种此类模型：收敛 RGNN（所有顶点表示必须稳定）、输出收敛 RGNN（仅输出分类必须稳定）和停机 RGNN（由逐顶点停机分类器决定何时停止）。我们确立了这些模型之间的表达能力关系：在无向图上，收敛 RGNN 与分级互模拟不变的停机 RGNN 具有同等表达能力，而输出收敛 RGNN 的表达能力至少与之相当。结合先前关于停机 RGNN 的结果，这表明，相对于单子二阶逻辑（MSO）可表达的分类器，收敛 RGNN 恰好表达分级模态 $\mu$-演算（$\mu$GML），而输出收敛 RGNN 至少表达 $\mu$GML。即使限制为使用求和聚合的 ReLU 网络，这些结果依然成立。主要技术挑战在于用收敛 RGNN 模拟停机 RGNN：在没有全局停机分类器的情况下，顶点可能在局部决定在不同时间停机，从而导致不同步。我们开发了一种“红绿灯”协议，使顶点能够在这种异步情况下进行协调。我们的结果回答了 Bollen 等人 (2025) 提出的一个开放问题，并表明 Pflueger 等人 (2024) 的 RGNN 模型即使在保证收敛的情况下仍保留完全的 $\mu$GML 表达能力。