通过最小化有效动力学与完整动力学之间的偏差寻找复杂系统的最优集体变量

本文关注集体变量，或称反应坐标，它将 $\mathbb{R}^d$ 中的离散时间马尔可夫过程 $X_n$ 映射到一个（小得多的）维度 $k \ll d$。我们将给定集体变量映射 $\xi$ 下的有效动力学定义为 $X_n$ 在 $\xi$ 下的最佳马尔可夫表示。本文的创新之处在于，它通过有效动力学的性质给出了选择最优集体变量的严格标准。特别地，我们证明了最优集体变量的有效动力学的转移密度解决了从某族密度到 $X_n$ 转移密度的相对熵最小化问题。我们还证明了许多基于转移算子的数据驱动数值方法本质上是在学习有效动力学的量。此外，我们得到了有效动力学在近似原始过程 $X_n$ 的主导时间尺度/特征值和转移速率时的各种误差估计，以及最优集体变量如何最小化这些误差。我们的结果有助于发展用于理解大时间尺度上复杂动力系统（例如分子动力学）的理论工具。这些结果揭示了现有用于识别良好集体变量的数据驱动数值方法之间的关系，并推动了新方法的发展。