关于奇异模张量范畴

有猜想认为每一个 $(2+1)$-TQFT 都是一个由对 $(G,\lambda)$ 标记的 Chern-Simons-Witten (CSW) 理论，其中 $G$ 是紧李群，$\lambda \in H^4(BG;Z)$ 是一个上同调类。我们研究了两个基于 Jones 子因子理论构建的 TQFT，它们被认为是该猜想的反例：一个是 $E_6$ 子因子偶扇区的量子双重，另一个是 Haagerup 子因子偶扇区的量子双重。由于 CSW TQFT 虽已在物理上定义，但尚未对每一对 $(G,\lambda)$ 完成数学构建，因此我们无法从数学上严格证明这两个 TQFT 确实是反例。目前已完成数学构建的情况包括：1. $G$ 为有限群——Dijkgraaf-Witten TQFT；2. $G$ 为环面 $T^n$；3. $G$ 为连通半单李群——Reshetikhin-Turaev TQFT。我们证明了这两个 TQFT 不属于上述已数学构建的 TQFT 或其直积。这两个 TQFT 均属于 Turaev-Viro 型：球张量范畴的量子双重。我们进一步证明了这两个 TQFT 均非辫融合范畴的量子双重，并提供证据表明它们也不是上述 TQFT 的轨形或陪集。此外，来自半 $E_6$ TQFT 的辫群表示可用于构建通用拓扑量子计算机，预计 Haagerup 情形亦然。