关于欧拉路径与迭代高阶线图的最大度增长

给定一个简单图$G$，其线图$L(G)$通过将$G$的每条边表示为一个顶点得到，$L(G)$中两个顶点相邻当且仅当$G$中对应的边共享一个公共端点。重复应用线图操作，我们得到高阶线图，记为$L^{r}(G)$。换言之，$L^{0}(G) = G$，且对任意整数$r \ge 1$，$L^{r}(G) = L(L^{r-1}(G))$。给定一个$n$个顶点的图$G$，我们希望高效地找出(i) $L^k(G)$是否有欧拉路径，(ii) $\Delta(L^k(G))$的值。注意高阶线图的大小可能远大于$G$。对于第一个问题，我们证明对于具有$n$个顶点和$m$条边的图$G$，使得$L^k(G)$有欧拉路径的最大$k$满足$k = \mathcal O(nm)$。我们还设计了一个$\mathcal{O}(n^2m)$时间的算法来输出所有使得$L^k(G)$有欧拉路径的$k$。对于第二个问题，我们研究$L^k(G)$($k \ge 0$)的最大度的增长。当$G$是路径、圈或爪图时，计算$\Delta(L^k(G))$是容易的。任何其他连通图称为多产图，我们将所有多产图的集合记为$\mathcal G$。我们扩展了Hartke和Higgins的工作，证明对于任何多产图$G$，存在一个常数有理数$dgc(G)$和一个整数$k_0$，使得对所有$k \ge k_0$，$\Delta(L^k(G)) = dgc(G) \cdot 2^{k-4} + 2$。我们证明$\{dgc(G) \mid G \in \mathcal G\}$有第一、第二、第三、第四和第五最小值，分别为$c_1 = 3$，$c_2 = 4$，$c_3 = 5.5$，$c_4 = 6$和$c_5=7$；第三最小值出人意料地与其他四个不同。此外，对于$i \in \{1, 2, 3, 4\}$，我们给出了$\mathcal G_i = \{dgc(G) = c_i \mid G \in \mathcal G \}$的完整刻画。除此之外，我们证明集合$\{dgc(G) \mid G \in \mathcal G, 7 < dgc(G) < 8\}$是可数无穷的。