关于保序分段常数信号的估计

考虑一个实数据点序列 $X_1,\ldots, X_n$，其底层均值为 $\theta^*_1,\dots,\theta^*_n$。本文从研究 $\theta^*_i$ 作为索引 $i$ 的函数既是分段常数又是单调的设定开始。为此，我们建立了估计此类单调函数的精确极小极大速率，从而对形状约束分析文献中的一个开放问题给出了非平凡的回答。该极小极大速率涉及对维度的有趣迭代对数依赖，这一现象通过刻画保序形状约束与模型选择复杂性之间的相互作用而被揭示。然后，我们开发了一种用于估计向量 $\theta^*=(\theta^*_1,\dots,\theta^*_n)^T$ 的惩罚最小二乘程序。该估计器被证明能够自适应地达到所导出的极小极大速率。对于所提出的估计器，我们进一步允许模型误设，并导出具有最优速率的预言机不等式，并表明存在一种计算高效的算法来计算精确解。