论数字通信中误码率的凸性

针对任意星座图、比特映射和编码，研究了一类译码器（包括作为特例的最大似然/最小距离译码器）误码率的凸性性质。此前针对加性高斯白噪声 (AWGN) 信道获得的结果被推广至一大类噪声密度，包括单峰噪声和球对称不变噪声。在这些广泛条件下，证明了在高信噪比 (SNR) 机制下，符号误码率和比特误码率是信噪比的凸函数，并具有一个明确确定的阈值，该阈值仅取决于星座图维度和最小距离，从而使得能够以严格的方式将凸优化的强大工具应用于此类数字通信系统。在一般情况下，正是决策区域边界周围噪声功率密度的递减性质保证了符号误码率的凸性。已知的高/低信噪比凸性/凹性区域界限得到了收紧，且表明在一般情况下不可能有进一步的改进。高信噪比界限与信道编码定理紧密契合：所有码（包括达到容量的码），只要其决策区域包含硬化的噪声球（源自信道编码定理中的噪声球硬化论证），就满足这一高信噪比要求，因此在信噪比和噪声功率两方面均具有凸的误码率。我们猜想所有达到容量的码都具有凸的误码率。此外，还研究了信号幅度和噪声功率方面的凸性性质，并讨论了结果的一些应用。特别是，证明了衰落具有保凸性，且在球对称不变噪声下，在低维空间中从来不是有利的，这也可能包括任何线性分集合并。