空中优化的基本极限：模拟方案是最优的吗？

我们考虑在$d$维空间上的空中凸优化，其中编码梯度通过方差为$\sigma^2$的加性高斯噪声信道发送。码字满足平均功率约束$P$，从而得到信噪比（SNR）为$P/\sigma^2$。我们推导了空中优化收敛速率的界。我们的第一个结果是一个收敛速率下界，表明任何码都必须使收敛速率减慢大约$\sqrt{d/\log(1+\mathtt{SNR})}$的因子。接下来，我们考虑一类称为$模拟$ $编码$（analog coding）的流行方案，其中发送梯度的线性函数。我们表明，简单的缩放传输模拟编码方案导致收敛速率减慢$\sqrt{d(1+1/\mathtt{SNR})}$的因子。这在常数因子内匹配先前的下界（对于低SNR），使得该缩放传输方案在低SNR下是最优的。然而，我们表明这种减慢对于任何模拟编码方案都是必要的。特别地，即使当SNR趋于无穷时，模拟编码的收敛减慢因子$\sqrt{d}$仍然保留。值得注意的是，我们提出了一种简单的量化调制方案，该方案使用$振幅$ $移$ $键$ $控$（Amplitude Shift Keying）并在所有SNR下几乎达到最优收敛速率。