关于平均距离、第1级傅里叶权重与常的引理

本文通过一种归纳方法，改进了著名的第1级权重上界，亦即常的引理。无论集合规模多大，我们的上界都接近最优。我们的上界可视为最小平均距离问题的上界，因为最大化第1级权重等价于最小化平均距离。我们应用新得到的上界来改进 Friedgut--Kalai--Naor 定理。我们还推导出针对 $\mathbb{F}_{2}^{n}$ 的常原引理的尖锐版本，即我们证明在 $\mathbb{F}_{2}^{n}$ 中，哈明球是最大化大傅里叶系数所张成空间维数的集合。