虚二次数域上一类简单四次 Thue 方程族的研究

设 $t$ 为任意满足 $|t|\geq 100$ 的虚二次整数。我们证明不等式 $$|F_t(X,Y)| = | X^4 - t X^3 Y - 6 X^2 Y^2 + t X Y^3 + Y^4 | \leq 1$$ 在与 $t$ 相同的虚二次数域的整数中仅有平凡解 $(x,y)$。此外，我们证明了关于不等式 $|F_t(X,Y)| \leq C|t|$ 和 $|F_t(X,Y)| \leq |t|^{2 -\varepsilon}$ 的结果。这些结果源于基于超几何方法的逼近结果。本文的证明需要相当数量的计算，为此提供了（Sage 中的）代码。