关于多维 East 模型的前沿演化问题

我们考虑 $\mathbb{Z}^d, d\ge 2$ 上 East 过程的一个自然前沿演化问题，这是一个被广泛研究的动力学约束模型，其促进机制沿坐标方向定向，当促进顶点的平衡密度 $q$ 趋于零时。从原点处唯一一个无约束顶点出发，令 $S(t)$ 由在时间 $t$ 内变为无约束的那些顶点组成；对任意正方向 $\mathbf x$，令 $v_{\max}(\mathbf x),v_{\min}(\mathbf x )$ 为 $S(t)$ 在该方向上增长的最大/最小速度。若 $\mathbf x$ 与 $q$ 无关，我们证明当 $q\to 0$ 时 $v_{\max}(\mathbf x)= v_{\min}(\mathbf x)^{(1+o(1))}=\gamma(d) ^{(1+o(1))}$，其中 $\gamma(d)$ 为该过程在 $\mathbb{Z}^d$ 上的谱隙。我们也分析了 $\mathbf x$ 的某些坐标随 $q\to 0$ 而趋于零的情形。特别地，对 $d=2$，我们证明若 $\mathbf x$ 足够快地逼近两个坐标方向之一，则 $v_{\max}(\mathbf x)= v_{\min}(\mathbf x)^{(1+o(1))}=\gamma(1) ^{(1+o(1))}=\gamma(d)^{d(1+o(1))}$，即 $S(t)$ 在坐标方向附近的增长由一维过程主导。结果是区域 $S(t)$ 在 $\mathbb{Z}^d_+$ 内变得极度拉长。我们还建立了具有极小边界条件的有限盒中链的混合时间截断。我们分析的一个关键要素是 arXiv:1404.7257 中用于估计 East 过程谱隙的重整化技术。此处我们推广该技术以获得该过程合适的主 Dirichlet 特征值的渐近主项。