关于一族微分-反射算子：交织算子与急减函数的 Fourier 变换

我们引入了一族作用于定义在 $\mathbb R$ 上的光滑函数的微分-反射算子 $\Lambda_{A, \varepsilon}$。这里 $A$ 是带有附加假设的 Strum-Liouville 函数，且 $\varepsilon\in \mathbb R$。对于特殊的对 $(A,\varepsilon)$，我们恢复了 Dunkl、Heckman 和 Cherednik 算子（在一维中）。研究了算子 $\Lambda_{A, \varepsilon}$ 的谱问题。特别地，我们获得了 $\Lambda_{A, \varepsilon}$ 本征函数的适当增长估计。由于算子 $\Lambda_{A, \varepsilon}$ 是 $d/dx$ 与反射算子的混合，我们证明了 $\Lambda_{A, \varepsilon}$ 与通常导数之间存在交织算子 $V_{A,\varepsilon}$。还确立了 $V_{A,\varepsilon}$ 的正定性。通过 $\Lambda_{A,\varepsilon}$ 的本征函数，我们引入了广义 Fourier 变换 $\mathcal F_{A,\varepsilon}$。当 $0<p\leq {2\over{1+\sqrt{1-\varepsilon^2}}}$ 且 $-1\leq \varepsilon\leq 1$ 时，发展了 $\mathcal F_{A,\varepsilon}$ 的 $L^p$ 调和分析。特别地，证明了 $\mathcal F_{A,\varepsilon}$ 的 $L^p$-Schwartz 空间同构定理。