关于两个凸函数和的近端算子的分解公式

本文的主要结果是关于两个正常、下半连续且凸的函数 $f$ 和 $g$ 之和的近端算子的一个原创分解公式。为此，我们引入了一个新算子，称为 $g$ 的 $f$-近端算子，记为 $\mathrm{prox}^f_g$，它推广了经典概念。然后我们证明了分解公式 $\mathrm{prox}_{f+g} = \mathrm{prox}_f \circ \mathrm{prox}^f_g$。在收集了 $\mathrm{prox}^f_g$ 的若干性质和刻画之后，我们证明它与经典 Douglas-Rachford 算子的广义版本的不动点相一致。这一关系被用于构造一个弱收敛算法，以数值计算这个新算子 $\mathrm{prox}^f_g$，从而根据分解公式，允许数值计算 $\mathrm{prox}_{f+g}$。结果表明，该算法在先前的工作中已被考虑并实现，这表明 $\mathrm{prox}^f_g$ 已经以隐藏形式存在于现有文献中，并对数值计算有用。然而，据我们所知，它从未以闭式公式明确表达过，也从未从理论角度被深入研究过。本文有助于填补文献中的这一空白。最后，我们给出了该分解公式在 Hilbert 空间中第二类线性变分不等式灵敏度分析背景下的应用说明。