使用非强凸近端函数的对偶平均法：新分析与算法

我们提出了用于求解复合凸优化问题 ${\min}_{x\in\mathbb{R}^n} \, f(\mathsf{A} x) + h(x)$ 的对偶平均型方法的新的分析与算法，其中 $f$ 是凸且全局 Lipschitz 的函数，$\mathsf{A}$ 是线性算子，$h$ 是在 DA 型方法中用作近端函数的“简单”凸函数。通过超越近端函数 $h$ 被假设为（在其定义域上）强凸的经典设定，我们开辟了分析和开发 DA 型方法的新途径。为此，我们识别了关于 $h$（以及 $f$ 和 $\mathsf{A}$）的两组新假设，并表明它们广泛适用于许多重要的非强凸函数类。在第一组假设下，我们证明了原始 DA 方法仍具有 $O(1/k)$ 的原始-对偶收敛速率。此外，我们分析了该方法的仿射不变性及其收敛速率。在第二组假设下，我们开发了一种具有对偶单调性的新 DA 型方法，并证明其具有 $O(1/k)$ 的原始-对偶收敛速率。最后，我们考虑了 $f$ 仅在 $\mathcal{C}:=\mathsf{A}(\mathsf{dom} h)$ 上凸且 Lipschitz 的情况，并基于 Pasch-Hausdorff 包络构造了其全局凸且 Lipschitz 的延拓。此外，我们利用与 $f$ 和 $\mathcal{C}$ 相关的凸分析对象刻画了该延拓的次微分和 Fenchel 共轭。