关于 Faudree 和 Schelp 的一个猜想

1976年，Faudree 和 Schelp 猜想：在任意一个具有 $n$ 个顶点的哈密顿连通图中，任意两个不同的顶点之间都存在一条长度为 $k$ 的路径，其中对所有 $k \ge n/2$ 均成立。1978年，Thomassen 构造了一族（非线性且非平面的）反例，表明存在哈密顿连通的 $n$ 顶点图，其中包含两个顶点，它们之间不存在长度为 $n-2$ 的路径。我们通过描述具有 $6p+16$ 个顶点的三次平面反例来补充这一结果，每个反例中都包含两个顶点，它们之间不存在任何大于 $1$ 且至多为 $4p+9$ 的奇数长度路径。受 Thomassen 关于哈密顿连通图圈谱中存在间隙的 remarks 的启发，我们还描述了一族无限多的哈密顿连通图，其圈谱的前半部分包含许多间隙。