关于 $\mathbb R^4$ 中一类保向映射

本文旨在给出关于四元数上的一类超全纯函数（即所谓的切片正则函数）的若干新的、有时令人惊讶的结果。切片正则函数的概念是全纯函数（单复变量）概念的一种推广。我们在此给出的结果表明，这种推广是多面的且高度非平凡的。我们研究切片正则函数 $f$ 的雅可比矩阵 $J_f$ 的性质，特别地证明 $\det(J_f)\geq0$，即 $f$ 是保向的。我们利用此处引入的新概念——$f$ 的翼（wing）——给出 $f$ 的纤维的完整刻画。我们考察 $f$ 的奇点集 $N_f$，即 $J_f$ 为奇异的集合。$N_f$ 恰好等于 $f$ 的分支集，即使得 $f$ 在 $y$ 处局部上不是同胚的点的集合。我们建立了 $f$ 的拟开性。作为推论，我们推导出 $f$ 的最大模原理在其完全一般性下的成立。我们通过显式例子表明我们的结果是尖锐的。