切片正则函数在非轴对称域上的延拓定理与表示公式

切片分析是将单复变全纯函数理论推广到四元数的一种理论。在此背景下出现的新现象之一是，由 $\sigma$-球 $\Sigma(p,r)$ 给出的 $f(q)=\Sigma_{n\in\mathbb{N}}(q-p)^{*n} a_n$ 的收敛域在 $\mathbb{H}$ 中不是开集，除非 $p\in\mathbb{R}$。这促使我们在本文中研究切片正则函数的自然拓扑是什么。结果表明，自然拓扑是所谓的切片拓扑，它不同于欧氏拓扑，并且很好地适应了四元数的切片结构。我们将切片正则函数的函数论推广到切片拓扑下的任意域。经典切片分析中针对轴对称域的许多基本结果在我们的通用设定下不再成立。我们甚至可以构造一个反例来说明，域中的切片正则函数不能延拓到轴对称域。为了给出正面结果，我们需要考虑所谓的路径切片函数而非切片函数。沿此思路，我们能够在切片域上建立延拓定理与表示公式。