八元数魔幻超引力、尼迈埃格点以及例外与希尔伯特模形式

我们研究了由例外约当代数定义的五维八元数魔幻超引力中 BPS 黑洞的量子简并度。我们将量子简并度纯数论地定义为具有给定离散 U-对偶群不变标号集合的电荷空间中不同态的数目。我们认为五维八元数魔幻超引力中球对称稳态 BPS 黑洞的量子简并度由例外群 $E_{7(-25)}$ 的模形式的傅里叶系数给出。黑洞的电荷取值于整八元数 $\mathcal{R}$ 上的例外约当代数 $J_3^{\mathbb{O}}(\mathcal{R})$ 所定义的格点。一阶和二阶（零面积）BPS 黑洞电荷态的量子简并度由 $E_{7(-25)}(Z)$ 的奇异模形式 $E_4(Z)$ 和 $E_8(Z)=(E_4(Z))^2$ 的傅里叶系数给出。三阶（大）BPS 黑洞将另文研究。遵循 N. Elkies 与 B. Gross 关于三次环 $A$ 嵌入例外约当代数及其在 $J_3^{\mathbb{O}}(\mathcal{R})$ 的 24 维正交二次子空间上作用的工作，我们证明此类嵌入描述的一阶黑洞的量子简并度由 $SL(2,A)$ 的希尔伯特模形式的傅里叶系数给出。若三次环 $A$ 的判别式为 $D=p^2$ 且 $p$ 为素数，则 24 维二次空间中的各向同性直线定义了一对尼迈埃格点，其可作为某些 BPS 黑洞的电荷格点。对于 $p=7$，它们是无根 Leech 格点与具有 168 个根向量的格点 $A_6^4$。我们还评述了寻找八元数魔幻超引力的 M/超弦理论起源的现状。