由 Dabholkar-Harvey 简并度得到的 $\mathcal{N}=4$ 弦理论中双荷黑洞简并度

在 K3$\times T^2$ 上的 II 型弦理论中，单中心双荷 $\frac14$-BPS 黑洞（BH）的简并度已知为源于 Igusa 尖点形式 $\Phi_{10}$ 的某些 mock Jacobi 形式的系数。本文我们给出这些黑洞简并度的精确解析公式，完全用该理论的微扰 $\frac12$-BPS 态的简并度表示。我们利用简并度完全由 mock Jacobi 形式的极系数控制这一事实，使用 Hardy-Ramanujan-Rademacher 圆法。此处我们给出这些极系数的一个简单公式，作为 $\frac12$-BPS 简并度的二次函数。我们通过将极系数的物理解释为负判别式态，并利用文献中已有结果追踪此类态在模空间中衰变为 $\frac12$-BPS 态对，从而得到该公式。尽管存在无穷多个此类衰变，我们证明只有有限个对公式有贡献。黑洞束缚态蜕变（BSM）现象在我们的分析中起关键作用。我们证明具有 $U$-对偶不变量 $\Delta<0$ 的双荷 BSM 轨道与 Brahmagupta-Pell 方程的解集精确对应，这意味着它们同构于实二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{|\Delta|})$ 中阶 $\mathbb{Z}[\sqrt{|\Delta|}]$ 的单位群。我们将公式与源于 Igusa 尖点形式的前 1650 个极系数的已知数值数据对比，发现完全吻合。