退化鞍点问题的观察

我们研究了退化鞍点问题，这些问题可视为系数具有大跳跃的对称问题的标准混合形式的极限情形。我们证明，尽管存在退化，这些问题在标准范数下仍是适定的。适定性是指解对右端项的稳定依赖性。我们采用了一种将鞍点问题分解为关于主未知量和拉格朗日乘子的独立方程的已知方法。我们重新审视了传统的Ladygenskaya--Babu\v{s}ka--Brezzi (LBB) 或 inf-sup 条件以及标准强制性条件，并分析了它们如何受到相应双线性形式退化的影响。我们提出并讨论了涵盖退化情形的广义条件。在某些假设下，LBB 或 inf-sup 条件是问题关于拉格朗日乘子适定的充分必要条件。在另一些假设下，广义强制性条件是问题关于主未知量适定的充分必要条件。我们将广义强制性条件与相关子空间最小间隙的正性联系起来，并提出了最小间隙的几种等价表达式。我们的结果为研究系数具有大跳跃的对称问题的混合形式在标准范数下（与跳跃无关）的一致适定性奠定了基础。此类问题出现在例如由具有对比特性的组分构成的复合材料的数值模拟中。