观测路线与外部守卫路线

我们引入了观测路线问题（$\textsf{ORP}$），其定义如下：给定平面上 $n$ 个两两不相交的紧致区域，寻找一条最短巡回路线（路径），使得沿此路线行走的观察者能够从路线上的某点看到（观测到）每个区域内的某个点。观察者\emph{不需要}看到对象的整个边界。该巡回路线\emph{不允许}与任何区域的内部相交（即这些区域是障碍物，因此属于禁区）。该问题与带邻域的旅行商问题（$\textsf{TSPN}$）和外部守卫路线问题（$\textsf{EWRP}$）均具有相似性。我们区分了两种变体：可见范围要么限制在一个边界矩形内，要么是无限制的。我们得到以下结果：(I) 给定平面上一族 $n$ 个不相交的凸体，除非 $\textsf{P} = \textsf{NP}$，否则计算最短观测路线不存在 $c \log n$ 近似，其中 $c>0$ 为绝对常数。（此结论对有限视野和无限视野均成立。）(II) 给定平面上一族不相交的凸体，计算最短外部守卫路线是 $\textsf{NP}$-困难的。（此结论对有限视野和无限视野均成立，且即便对于轴对齐正方形族也成立。）(III) 给定一族 $n$ 个不相交的胖凸多边形，可以在多项式时间内计算出长度至多为最优值 $O(\log{n})$ 倍的观测巡回路线。（此结论对有限视野成立。）(IV) 对于每个 $n \geq 5$，存在一个具有 $n$ 条边且所有角均为钝角的凸多边形，使得其周长\emph{不是}最短外部守卫路线。这反驳了 Absar 和 Whitesides（2006）的一个猜想。