Stiefel 流形上的 $O(k)$-等变降维

许多真实世界数据集存在于高维 Stiefel 流形与 Grassmann 流形 $V_k(\mathbb{R}^N)$ 与 $Gr(k, \mathbb{R}^N)$ 上，并可受益于向低维 Stiefel 与 Grassmann 流形的投影。本文中，我们提出一种称为\textit{主 Stiefel 坐标（PSC）}的算法，以\textit{$O(k)$-等变}方式将数据的维数从 $V_k(\mathbb{R}^N)$ 降至 $V_k(\mathbb{R}^n)$（$k \leq n \ll N$）。我们首先观察到每个元素 $\alpha \in V_n(\mathbb{R}^N)$ 都定义了 $V_k(\mathbb{R}^n)$ 到 $V_k(\mathbb{R}^N)$ 的一个等距嵌入。接着，我们描述了寻找合适嵌入映射 $\alpha$ 的两种方式：一种通过主成分分析的扩展（$\alpha_{PCA}$），另一种利用梯度下降进一步最小化数据拟合误差（$\alpha_{GD}$）。然后，我们定义一个连续且 $O(k)$-等变的映射 $\pi_\alpha$，其充当“最近点算子”，在由 $\alpha$ 确定的嵌入下将数据投影到 $V_k(\mathbb{R}^N)$ 中 $V_k(\mathbb{R}^n)$ 的像上，同时使畸变最小。由于该降维是 $O(k)$-等变的，这些结果也推广至 Grassmann 流形。最后，我们证明在无噪设定下 $\pi_{\alpha_{PCA}}$ 全局最小化投影误差，而当数据并非精确位于如上线性嵌入的低维 Stiefel 流形之像上时，$\pi_{\alpha_{GD}}$ 取得了明显不同且更优的结果。我们使用合成与真实世界数据进行了多项数值实验。