大规模 Hartree-Fock-Bogoliubov 方程的数值求解

Hartree-Fock-Bogoliubov（HFB）理论是处理超导系统的起点。然而，求解大规模 HFB 方程的计算代价可能远大于 Hartree-Fock 方程，特别是当哈密顿矩阵稀疏、且电子数 $N$ 相对于矩阵大小 $N_{b}$ 较小时。我们首先对一般有限尺寸量子系统的 HFB 理论给出简洁且相对自洽的综述，特别从线性代数视角关注自旋对称性的处理。随后我们证明极点展开与选择性求逆（PEXSI）方法尤其适合求解大规模 HFB 方程。对于 Hubbard 型哈密顿量，PEXSI 的代价在有隙与无隙系统中均至多为 $\Or(N_b^2)$，可显著快于标准三次标度对角化方法。我们展示 PEXSI 可求解二维 Hubbard-Hofstadter 模型，其中 $N_b$ 高达 $2.88\times 10^6$，且使用 $17280$ 个 CPU 核心时挂钟时间小于 $100$ s。这使得在实验可实现的磁场下对物理系统进行模拟成为可能，而使用更小系统则无法模拟。