乐器中碰撞的数值模拟

碰撞在乐器物理学的许多方面起着重要作用。键盘和打击乐器中琴锤或琴槌的敲击动作或许是最重要的例子，其他例子包括管乐器中的簧片拍击效应、吉他等品丝乐器以及西塔琴中的弦与琴颈相互作用，以及小军鼓中的金属丝与膜相互作用。从模拟角度来看，无论最终目标是验证乐器模型还是进行声音合成，这类高度非线性问题都带来了各种困难，其中最重要的是数值不稳定的风险。本文开发了一种用于此类碰撞问题的新型有限差分时域 (FDTD) 模拟框架，其中数值稳定性源于严格的数值能量守恒或耗散，并且在 Hamiltonian 公式中采用幂律公式作为碰撞的势函数。该幂律既作为可变形碰撞的模型，也作为完全刚性、不可变形碰撞下的数学惩罚项。这一表述解决了先前工作中的一个主要问题，即先前工作未在碰撞中采用 Hamiltonian 框架，从而无法确保稳定性。文中展示了各种数值算例，说明了此类方法在音乐声学广泛系统范围内的统一特征，包括数值稳定性和能量守恒/耗散、刚性碰撞情况下虚假穿透的界限，以及乐器物理学的各个方面。