理解非局部双曲系统中具不同对称性的局域解所面临的数值挑战

我们考虑一个一维非局部双曲模型，该模型用于描述同质一维环境中动物自组织群体的形成与运动。先前的研究已通过数值模拟与弱非线性分析表明，该模型展现出大量复杂的空间与时空聚集模式。在本研究中，我们聚焦于一类具有奇/偶/无对称性的特定局域模式（它们通常是具有不同对称性的蛇形解分支的一部分，这些分支形成称为蛇梯分岔的复杂分岔结构）。为数值研究分岔解分支（以最终构造完整分岔结构），我们首先需要理解使用不同数值格式时可能出现的数值问题。为此，在本研究中，我们考虑十种不同的数值格式（迎风格式、MacCormack 格式、分数步长法与准稳态波传播算法，并将它们与高分辨率方法结合），同时关注所有这些格式对解对称性的保持。我们展示了若干数值问题：首先，我们观察到两类具有不同对称性且误差极小的数值解并存；其次，在某些情况下，所考察的数值格式均不收敛，这对非局部双曲系统数值延拓算法的开发构成挑战；最后，数值格式的选择及其相应参数（如时间-空间步长）对分岔解的类型与对称性有显著影响。