抛物问题稀疏初始数据识别的数值分析

本文考虑从齐次抛物问题的最终时刻观测中识别初始数据的问题。由于抛物方程具有强平滑性质，已知此类问题是指数级不适定的。我们关注待恢复初始数据已知为稀疏的情形，即其支集的 Lebesgue 测度为零。我们将该问题表述为最优控制问题，并将未知初始数据稀疏性的信息纳入目标泛函的结构中。具体而言，我们在正则 Borel 测度空间中寻找控制变量，并将相应的范数作为目标泛函中的正则化项。这导出了一个凸但非光滑的优化问题。对于离散化，我们在空间上采用连续分片线性有限元，在时间上采用任意阶间断 Galerkin 有限元。对于一般情形，我们建立了状态变量的误差估计。在特定结构假设下，我们证明了控制变量由 Dirac 测度的有限线性组合构成。对于该情形，我们获得了 Dirac 测度位置及相应系数的误差估计。数值分析的关键在于齐次抛物问题的尖锐平滑型逐点有限元误差估计，这具有独立的意义。此外，我们讨论了求解该问题的高效算法途径，并展示了若干说明理论结果的数值实验。