无处常值映射族与可解性

如果 $X$ 是一个拓扑空间且 $Y$ 是任意集合，若对于 $X$ 中的每个非空开集 $U$，都存在 $f \in \mathcal{F}$ 使得 $|f[U]| > 1$，即 $f$ 在 $U$ 上不是常值，则我们称从 $X$ 到 $Y$ 的映射族 $\mathcal{F}$ 为无处常值的。我们证明了以下结果，该结果改进了文献中的若干早期结论：如果 $X$ 是一个拓扑空间，其中 $C(X)$（即 $X$ 到 $\mathbb{R}$ 的所有连续映射族）是无处常值的，并且 $X$ 具有一个由连通集组成的 $\pi$-基，那么 $X$ 是 $\mathfrak{c}$-可解的。