关于量子元胞自动机与强等价的注记

在本注记中，我们给出一维量子元胞自动机（QCA）在强等价而非稳定等价下的分类结果。在强等价下，仅允许添加携带对称性原始格点表示的辅助位；而在稳定等价下，允许添加携带任意对称性表示的辅助位。前者可能更贴近现实，因为在物理系统尤其是 AMO/量子计算语境中，我们不会预期存在携带任意对称性表示的额外自旋。文献~\onlinecite{mpu} 提出了强等价下具有离散对称性的 QCA 的两类对称保护指标（SPI）。本注记中，我们表明其中更精细的 SPI 仅当 $N$ 为素数时才与 $\mathbb{Z}_N$ 对称 QCA 的等价类一一对应；我们给出 $N=4$ 的反例。我们表明，强等价下给定格点表示的 $\mathbb{Z}_2$ 对称 QCA 由 $\mathbb{Z}^{pq}$ 分类，其中 $p$ 为格点希尔伯特空间维数的素因子个数，$q$ 为非平凡格点 $\mathbb{Z}_2$ 元素迹的素因子个数。最后，我们表明 GNVW 指标在倍增系统中可用 $\mathbb{Z}_2$ SPI 表述，并给出 GNVW 指标的 SPI 表述与其实二阶互信息公式间的直接联系。