含阻尼项的二阶常微分方程的非振动性与稳定性

本文考虑二阶线性常微分方程$$L x(t)\equiv \ddot{x}(t) +a(t)\dot{x}(t)+b(t)x(t)=f(t), \eqno{(1)}$$及相应的齐次方程$$\ddot{x}(t) +a(t)\dot{x}(t)+b(t)x(t)=0. \eqno{(2)}$$注意，若每个非平凡解在区间$[\alpha ,\beta ]$上至多有一个零点，则该区间称为非振动区间。许多看似无关的研究，如微分不等式、Polia-Mammana分解（即将算子$L$表示为若干一阶微分算子的乘积）、插值问题的唯一可解性、核的振动性、零点的分离、Lyapunov稳定区域等，都具有一个共同的基础——非振动性。Sturm可能是最早考虑此处自然出现的两个问题的人：推导非振动性的推论，以及寻找检验非振动性的方法。本文获得了半轴上非振动性的若干检验准则，并将其应用于提出关于方程(2)的渐近性质和指数稳定性的新结果。利用Floquet表示以及振动解的非振动区间的上下界估计，我们推导出方程(2)的指数稳定性、Lyapunov稳定性与不稳定性结果。