基于集合的卡尔曼滤波器的非线性稳定性与遍历性

集合卡尔曼滤波器（EnKF）和集合平方根滤波器（ESRF）是用于将高维非线性动力学模型与观测数据相结合的数据同化方法。尽管它们在气候科学和油藏模拟中得到了广泛应用，但对这些方法的长期行为以及为何在大型湍流动力学系统中使用适度的集合规模时仍然有效，目前知之甚少。本文遵循滤波器能量耗散和可控性的基本原理，建立了一个简单、系统且严格的框架，用于对任意集合规模的EnKF和ESRF进行非线性分析，重点关注有界性和几何遍历性等动力学性质。时间一致有界性保证了滤波器估计值不会在有限时间内发散至机器无穷大，这是EnKF和ESQF中已知的灾难性滤波器发散的一个潜在威胁。几何遍历性进一步保证了滤波器具有唯一的不变测度，且初始化误差将随时间指数衰减。我们通过引入可观测能量耗散的自然概念来建立这些结果。时间一致有界性通过简单的Lyapunov函数论证实现，该结果适用于具有完整观测和强动能耗散的系统，但也适用于具有不完整观测的具体例子。在建立Lyapunov函数论证之后，通过验证滤波器过程的可控性来获得几何遍历性；特别是，对ESQF的此类分析依赖于对协方差特征结构的仔细多元扰动分析。