非线性核分区正则性：必要与充分条件

称矩阵 $A$ 为\emph{核分区正则}，若对自然数集 $\mathbb{N}$ 的任意有限着色，均存在单色解方程 $A\vec{X} = 0$。1933 年，Rado 通过证明矩阵满足\emph{列条件}即为核分区正则，从而刻画了此类矩阵。本文研究 Rado 定理的多项式扩展，探讨形如 $A \vec{X} + P(z) = \vec{0}$ 的非线性方程组，其中 $A$ 为整数矩阵，$P$ 为无常数项的一元多项式集合。我们给出若干非线性方程组为核分区正则的示例，表明经由加入非线性多项式项后，经典列条件仍能保证核分区正则性。随后我们建立非线性 Rado 型系统分区正则性的结构必要条件，将经典列条件推广至非线性情境。该条件通过探讨线性分量与高阶多项式分量之间的依赖关系，概括了 Rado 经典列条件的通用形式。