关于 $l_1$ 维数缩减的非线性估计器与尾部界限：基于 Cauchy 随机投影

在 $l_1$ 空间进行维数缩减时，Cauchy 随机投影法通过将原始数据矩阵 $\mathbf{A} \in\mathbb{R}^{n\times D}$ 与随机矩阵 $\mathbf{R} \in\mathbb{R}^{D\times k}$ ($k\ll\min(n,D)$) 相乘（其中矩阵 $\mathbf{R}$ 的元素为标准 Cauchy 分布 C(0,1) 的独立同分布样本）来实现。由于不可恢复性结果，从 $\mathbf{B} = \mathbf{AR} \in\mathbb{R}^{n\times k}$ 中无法使用线性估计器来恢复 $\mathbf{A}$ 中成对的 $l_1$ 距离，而会产生较大误差。然而，对于数据流计算、信息检索、机器学习和数据挖掘等某些应用场景，非线性估计器仍然有用。我们提出了三种非线性估计器：偏差校正后的样本中位数估计器、偏差校正后的几何均值估计器以及偏差校正后的最大似然估计器。样本中位数估计器与几何均值估计器在 $k\to \infty$ 时渐近等价，但后者在小 $k$ 时更精确。我们为几何均值估计器推导了显式的尾部界限，并在 $l_1$ 空间的维数缩减中建立了类似 Johnson-Lindenstrauss (JL) 引理的框架，该结果弱于 $l_2$ 空间中经典 JL 引理的维数缩减。渐近地来看，样本中位数估计器和几何均值估计器相对于最大似然估计器 (MLE) 的效率约为 80%。我们分析了 MLE 的矩，并提出将其分布近似为逆高斯分布的方法。