非线性降维的过去与现在：机器学习时代下耗散偏微分方程的近似惯性流形
动力系统
2023-10-25 v1 机器学习
摘要
本研究提出了一系列纯数据驱动的工作流，用于构建分布动力系统的降阶模型（ROMs）。我们关注的 ROMs 是受近似惯性流形（AIMs）理论启发并以其为模板的数据辅助模型；具体动机来自 Garcia-Archilla、Novo 和 Titi 所谓的后处理 Galerkin 方法。其适用性可得以拓展：利用机器学习工具可规避对精确截断 Galerkin 投影以及推导闭式修正的需求。当正确的潜变量并非先验已知时，我们说明了如何使用自编码器以及 Diffusion Maps（一种流形学习方案）来发现良好的潜变量集合并检验其可解释性。所提方法可用以下坐标表达 ROMs：（a）理论坐标（Fourier 系数），（b）线性数据驱动坐标（POD 模态）和/或（c）非线性数据驱动坐标（Diffusion Maps）。我们描述了黑箱模型与（理论知情且数据修正的）灰箱模型；当截断 Galerkin 投影极不准确以至于无法通过后处理修正时，后者的必要性便显现出来。我们使用 Chafee-Infante 反应扩散方程与 Kuramoto-Sivashinsky 耗散偏微分方程来阐释并成功验证整体框架。
引用
@article{arxiv.2310.15816,
title = {Nonlinear dimensionality reduction then and now: AIMs for dissipative PDEs in the ML era},
author = {Eleni D. Koronaki and Nikolaos Evangelou and Cristina P. Martin-Linares and Edriss S. Titi and Ioannis G. Kevrekidis},
journal= {arXiv preprint arXiv:2310.15816},
year = {2023}
}
备注
27 pages, 22 figures