小超空间模型的非微扰正则量子化：Bianchi I 型与 II 型

我们遵循非微扰正则量子化方案，对完整的 I 型和 II 型 Bianchi 模型进行量子化。这些齐次小超空间是完全可解的，即有可能以显式形式获得其经典运动方程的通解。我们确定了对应于不同时空几何的解的 sectors，并证明用于描述不同物理解的参数定义了这些模型相空间中的一组良好坐标。通过从 Ashtekar 变量到这组相空间坐标的变换，我们赋予这些系统中每个约化相空间一个辛结构。由此得到的 I 型和 II 型 Bianchi 模型的辛形式分别被识别为 ${\cal L}^+_{(+,+)}\times S^2\times S^1$ 与 ${\cal L}^+_{(+,+)}\times S^1$ 上余切丛的辛形式。我们在每个约化相空间中构造了 Dirac 观测量的闭 *-代数，并通过寻找这些代数的酉不可约表示完成了量子化方案。实 Dirac 观测量以此方式由自伴算子表示，量子物理态空间被赋予 Hilbert 结构。