具 Neumann 条件的(非)局部 logistic 方程

我们在此考虑一个由兼具经典扩散与非局部扩散(可能结合传粉项)的 logistic 方程建模的种群动力学问题。所考察的环境是一个具有零通量的生态位,依据一种新型 Neumann 条件。我们针对最有利于物种生存的情形,就第一正特征值展开讨论。颇为意外的是,一维情形的特征值分析在结构上不同于高维情形,并且明显依赖于扩散的非局部特性。该问题的数学框架考虑了方程 $$-\alpha\Delta u +\beta(-\Delta)^su =(m-\mu u)u+\tau\;J\star u \qquad{\mbox{in }}\; \Omega,$$ 其中 $m$ 可改变符号。该方程附有一组 Neumann 条件,其结合了经典法向导数规定与 [S. Dipierro, X. Ros-Oton, E. Valdinoci, Rev. Mat. Iberoam. (2017)] 中引入的非局部条件。我们将建立该问题极小解的存在性,并深入讨论能否获得非平凡解(对应于种群的生存)。该探究将依赖于关联问题第一特征值的定量分析,以及对资源上下界很大时的精确渐近性态。在此过程中,我们还分析了资源分布优化策略所起的作用,给出了尽管环境中可用资源充足却不利于生存的具体例子。