非阿基米德分析、T-函数与密码学

这是2006年7月9日至23日在罗蒙诺索夫莫斯科国立大学举办的国际暑期学校“计算机安全中的数学方法与技术”20学时课程的讲义。粗略地说，$T$-函数是将$n$位字映射到$n$位字的映射，使得像的第$i$位仅依赖于原像的低阶位$0,..., i$。例如，所有算术运算（加法、乘法）都是$T$-函数，所有按位逻辑运算（$\XOR$、$\AND$等）也都是$T$-函数。$T$-函数的任何复合也是$T$-函数。因此，$T$-函数是自然的面向计算机字的函数。事实证明，$T$-函数是关于所谓的2-进距离的连续（且通常是可微的！）函数。这一观察为应用2-进分析来构造具有可证明密码学性质（长周期、平衡性、均匀分布、高线性复杂度等）的广泛$T$-函数类提供了强有力的工具；这些函数目前正被用于新一代快速流密码中。我们将这些密码视为可与2-进整数空间上的动力系统相关联的特定自动机。从这个观点来看，这些讲座可被视为非阿基米德动力学密码学应用的一门课程；后者因其在物理学、生物学和认知科学中的应用而近来备受关注。在课程期间，听众学习了非阿基米德机制及其在流密码设计中的应用。