二次曲率理论中不存在Bel-Robinson张量

我们尝试将广义相对论中熟悉的协变守恒Bel-Robinson张量 $B_{mnab} \sim R R$ 及其近期发现的拓扑质量三阶导数对应量 $B \sim RDR$ 推广到二次曲率作用量。我们考察了当前感兴趣的两种截然不同的模型：四阶 $D=3$ 的“新质量”引力和二阶 $D>4$ 的Lanczos-Lovelock引力。从量纲上看，这里的候选张量变为 $B \sim DRDR+RRR$。对于 $D=3$ 模型，在线性化极限下确实存在守恒的 $B \sim dRdR$。然而，尽管存在大量可用的三次项，$B$ 无法扩展到完整理论。$D>4$ 模型甚至无法在平坦时空附近线性化，因为其场方程是曲率的二次型；它们也没有可行的 $B$，即使加入宇宙学项或爱因斯坦项以允许在所得dS真空附近线性化，这一事实仍然成立。这些结果是一个出乎意料但并非独一无二的线性化不稳定性例子。