环具有半单左商环的新判据

Goldie 定理 (1960) 是环论中最重要的结果之一，它给出了一个环具有半单左商环的判据。本文旨在给出四个新的判据（采用完全不同的方法和新思路）。第一个判据基于最近的一个事实：对于任意环 $R$，其极大左分母集集合 $\CM$ 是非空的：定理（第一判据）。环 $R$ 具有半单左商环 $Q$ 当且仅当 $\CM$ 是有限集，$\bigcap_{S\in \CM} \ass (S) =0$，且对于每个 $S\in \CM$，环 $S^{-1}R$ 是单左 Artin 环。在这种情况下，$Q\simeq \prod_{S\in \CM} S^{-1}R$。第二判据通过 $R$ 的极小素理想给出，并在某种意义上超越了第一判据和 Goldie 定理，因为它通过 $R$ 的极小素理想显式描述了极大左分母集 $S$。第三判据接近 Goldie 判据，但在应用中更易于检验（基本上，它将 Goldie 定理归约为素环情形）。第四判据通过某些左分母集给出。